Algebraisk lösning av trigonometriska ekvationer för sinus
-
Steg 1: Isolera sinusfunktionen
- Arrangera om ekvationen för att få formen `sin(x) = k`, där `k` är en konstant.
- Verifiera att "-1 ≤ k ≤ 1". Om `k` faller utanför detta intervall, finns det inga riktiga lösningar.
-
Steg 2: Bestäm referensvinkeln
- Beräkna huvudvärdet `α = arcsin(|k|)`. Denna vinkel är alltid i kvadrant I (0 till π/2 radianer eller 0° till 90°).
-
Steg 3: Hitta lösningar inom en period (0 till 2π radianer eller 0° till 360°)
- Om `k` är positivt (`sin(x) > 0`): Sinus är positivt i kvadrant I och kvadrant II.
- Första lösningen: `x₁ = α`
- Andra lösning: `x₂ = π - α` (eller `180° - α`)
- Om `k` är negativ (`sin(x) < 0`): Sinus är negativ i kvadrant III och kvadrant IV.
- Första lösningen: `x₁ = π + α` (eller `180° + α`)
- Andra lösning: `x₂ = 2π - α` (eller `360° - α`)
- Om `k` är noll (`sin(x) = 0`): Lösningarna är `x = 0` och `x = π` (eller `0°` och `180°`).
- Om `k` är positivt (`sin(x) > 0`): Sinus är positivt i kvadrant I och kvadrant II.
-
Steg 4: Formulera den allmänna lösningen
- Eftersom sinusfunktionen har en period på `2π` (eller `360°`), lägg till `2nπ` (eller `n 360°`) till varje distinkt lösning som finns i steg 3, där `n` är ett heltal (`n ∈ Z`).
- Allmän form: `x = x₁ + 2nπ` och `x = x₂ + 2nπ`
- Om `sin(x) = 0` är den allmänna lösningen `x = nπ`.
- Eftersom sinusfunktionen har en period på `2π` (eller `360°`), lägg till `2nπ` (eller `n 360°`) till varje distinkt lösning som finns i steg 3, där `n` är ett heltal (`n ∈ Z`).
-
Steg 5: Identifiera lösningar i ett specifikt intervall (om det finns)
- Ersätt olika heltalsvärden med "n" (t.ex. 0, ±1, ±2) i de allmänna lösningarna för att avgöra vilka värden som faller inom det angivna intervallet.
Kvadrantöverväganden för sinuslösningar
| Syndens tecken(x) (k) | Kvadranter för lösningar | Principal Solution Formel (`x₁`) | Andra lösningsformel (`x₂`) | Allmän lösningsstruktur |
|---|---|---|---|---|
| Positiv (k > 0) | I och II | `α` (där `α = arcsin(k)`) | `π - α` | `α + 2nπ`, `(π - α) + 2nπ` |
| Negativ (k < 0) | III och IV | `π + α` (där `α = arcsin(|k|)`) | `2π - α` | `(π + α) + 2nπ`, `(2π - α) + 2nπ` |
| Noll (k = 0) | På X-axeln | `0` | `π` | `nπ` |
Copyright ©ticalder.pages.dev 2026